Vectores en el espacio.

Un vector fijo $\overrightarrow{AB}$ es un segmento orientado: va del origen $A$ al extremo $B$. Tiene módulo (su longitud), dirección (la de la recta que lo contiene) y sentido (de $A$ hacia $B$). Todos los vectores fijos con el mismo módulo, dirección y sentido representan un mismo vector libre, que se escribe $\vec u$, $\vec v$… Con vectores libres se trabaja en todo el tema.

• Coordenadas. Con la base canónica ${\{\vec i,\vec j,\vec k\}}$ (vectores de módulo $1$ en la dirección de los ejes $X$, $Y$ y $Z$), cada vector se escribe de una sola forma como ${\vec u=u_1\vec i+u_2\vec j+u_3\vec k}$, y se dice que ${\vec u=(u_1,u_2,u_3)}$.
• Vector entre dos puntos: extremo menos origen. $$A(1,2,0),\;B(3,-1,4)\;\Longrightarrow\;\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\,-1-2,\,4-0)=(2,-3,4).$$
• Módulo: ${|\vec u|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}$. La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}$.
• Punto medio de un segmento: la media de las coordenadas de sus extremos. El de $AB$ es $$M=\left(\frac{1+3}{2},\,\frac{2+(-1)}{2},\,\frac{0+4}{2}\right)=\left(2,\,\tfrac12,\,2\right).$$
• El currículo (Real Decreto 243/2022, Matemáticas II) pide la «resolución de problemas que impliquen medidas de longitud, superficie o volumen en un sistema de coordenadas cartesianas». En este tema se hace con los productos escalar, vectorial y mixto.

Un vector es combinación lineal de otros si se obtiene sumándolos multiplicados por números, como ${\vec w=\alpha\vec u+\beta\vec v}$. Unos vectores son linealmente dependientes si alguno es combinación lineal de los demás; si no, son linealmente independientes.

• Cómo se estudia: se escribe la matriz con un vector en cada fila y se calcula su rango (Temas 1 y 2). Si el rango es igual al número de vectores, son independientes; si es menor, dependientes. Con tres vectores basta el determinante: $$\vec u=(1,0,1),\;\vec v=(0,1,1),\;\vec w=(1,1,2):\quad\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=0\;\Rightarrow\;\text{dependientes, pues } \vec w=\vec u+\vec v.$$
• Base del espacio: tres vectores linealmente independientes. Cualquier vector se escribe de una sola forma como combinación lineal de ellos, y los coeficientes son sus coordenadas en esa base. Por ejemplo, ${\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)\}}$ es una base (su determinante vale ${-2\ne 0}$), y ${(2,3,5)=2\,(1,0,1)+3\,(0,1,1)+0\,(1,1,0)}$ (los coeficientes salen de resolver el sistema $\alpha\,(1,0,1)+\beta\,(0,1,1)+\gamma\,(1,1,0)=(2,3,5)$, Tema 3).
• Una base es ortogonal si sus vectores son perpendiculares dos a dos, y ortonormal si además tienen módulo $1$, como ${\{\vec i,\vec j,\vec k\}}$. Las fórmulas con coordenadas del producto escalar valen en cualquier base ortonormal, y la del producto vectorial, en una base ortonormal orientada como ${\{\vec i,\vec j,\vec k\}}$ (regla de la mano derecha), que es la que se usa en la PAU.

El producto escalar de dos vectores es un número: $$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha,$$ donde $\alpha$ es el ángulo que forman, con ${0^\circ\le\alpha\le 180^\circ}$.

• Con coordenadas (en una base ortonormal), se multiplican coordenada a coordenada y se suma: $$\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,\qquad (1,2,2)\cdot(2,-1,2)=2-2+4=4.$$
• Propiedades: es conmutativo, ${\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u}$; distributivo, $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$; cumple $(k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)$; y ${\vec u\cdot\vec u=|\vec u|^2\ge 0}$.
• El signo dice cómo es el ángulo (con vectores no nulos): positivo si es agudo, negativo si es obtuso y cero si es recto.
• Perpendicularidad: dos vectores no nulos son perpendiculares (u ortogonales) si y solo si su producto escalar vale $0$: $$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0.$$

Casi todo lo que se mide con vectores sale del producto escalar. En la tabla, con ${\vec u=(1,2,2)}$ y ${\vec v=(2,-1,2)}$:

• Perpendicular con un parámetro: se iguala a cero el producto escalar. Para que ${(a,1,-2)}$ sea perpendicular a ${(2,4,1)}$: ${2a+4-2=0}$, es decir, ${a=-1}$.
• Vector de módulo dado: se divide entre su módulo y se multiplica por el que te pidan. Con la dirección de ${\vec u=(1,2,2)}$ y módulo $6$: ${6\cdot\dfrac{\vec u}{3}=(2,4,4)}$, y también su opuesto, ${(-2,-4,-4)}$.
• En los Temas 5 y 6 usarás lo mismo con los vectores directores de las rectas y los normales de los planos.

El producto vectorial ${\vec u\times\vec v}$ (en algunos libros, $\vec u\wedge\vec v$) es un vector: su módulo es $|\vec u|\,|\vec v|\operatorname{sen}\alpha$; su dirección, perpendicular a $\vec u$ y a $\vec v$; y su sentido, el de avance de un sacacorchos que gira de $\vec u$ hacia $\vec v$ (regla de la mano derecha).

• Cómo se calcula: con un determinante, desarrollado por la primera fila. Fíjate en el signo menos de la componente del medio: $$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{vmatrix}=(u_2v_3-u_3v_2)\,\vec i-(u_1v_3-u_3v_1)\,\vec j+(u_1v_2-u_2v_1)\,\vec k$$
• Ejemplo: $$(1,2,0)\times(0,1,3)=\big(2\cdot 3-0\cdot 1,\;-(1\cdot 3-0\cdot 0),\;1\cdot 1-2\cdot 0\big)=(6,-3,1).$$ Comprobación: ${(6,-3,1)\cdot(1,2,0)=0}$ y ${(6,-3,1)\cdot(0,1,3)=0}$.
• Propiedades: es anticonmutativo, ${\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)}$; distributivo; cumple $(k\vec u)\times\vec v=k\,(\vec u\times\vec v)$; y ${\vec u\times\vec v=\vec 0}$ si y solo si $\vec u$ y $\vec v$ son paralelos (o alguno es nulo). No es asociativo: ${(\vec i\times\vec i)\times\vec j=\vec 0}$, pero $\vec i\times(\vec i\times\vec j)=\vec i\times\vec k=-\vec j$.
• Para qué sirve: da un vector perpendicular a dos vectores a la vez (en el Tema 5, el vector normal de un plano), y su módulo es el área del paralelogramo que forman. En el ejemplo, ${|(6,-3,1)|=\sqrt{46}}$ u².

El producto mixto de tres vectores es un número: el producto vectorial de los dos primeros, multiplicado escalarmente por el tercero. Se calcula con un determinante, con un vector en cada fila: $$[\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}$$

• Ejemplo: $$[(1,2,0),(0,1,3),(2,0,1)]=\begin{vmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1\end{vmatrix}=(1+12+0)-(0+0+0)=13.$$ Por el otro camino: ${(1,2,0)\times(0,1,3)=(6,-3,1)}$ y ${(6,-3,1)\cdot(2,0,1)=12+0+1=13}$.
• Propiedades (las de los determinantes, Tema 2): no cambia si los vectores se permutan en orden circular, $[\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec v,\vec w,\vec u]=[\vec w,\vec u,\vec v]$; cambia de signo si se intercambian dos; y vale $0$ si y solo si los tres vectores son linealmente dependientes, es decir, coplanarios.
• Volumen del paralelepípedo que forman: ${V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|}$, en valor absoluto porque el determinante puede salir negativo y un volumen no. En el ejemplo, $13$ u³.
• Volumen del tetraedro con esas mismas tres aristas: la sexta parte, ${V=\tfrac16\,|[\vec u,\vec v,\vec w]|}$ (un medio porque su base es un triángulo, la mitad del paralelogramo, y un tercio porque es una pirámide). En el ejemplo, $\tfrac{13}{6}$ u³.

Las fórmulas de áreas y volúmenes trabajan con vectores, no con puntos: primero se sacan los vectores que salen de un mismo vértice.

• Alturas: como el volumen del paralelepípedo es el área de la base por la altura, la altura sobre la cara de $\vec u$ y $\vec v$ es $h=\dfrac{|[\vec u,\vec v,\vec w]|}{|\vec u\times\vec v|}$ (la misma fórmula da la altura del tetraedro sobre la cara $ABC$, con $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$). En un triángulo, la altura sobre el lado $AB$ es ${h=\dfrac{2S}{|\overrightarrow{AB}|}}$. Es otra forma de calcular distancias, que verás en el Tema 6.