Rectas y planos en el espacio.

Una recta queda determinada por un punto ${A(a_1,a_2,a_3)}$ y un vector director ${\vec u=(u_1,u_2,u_3)}$, no nulo, que marca su dirección. Cualquier múltiplo no nulo de $\vec u$ también es director, y si te dan dos puntos $A$ y $B$ de la recta, el director es $\overrightarrow{AB}$. Con esas dos piezas se escriben sus cuatro formas de ecuación:

• Un cero en el director: la continua se escribe igual que en la tabla de arriba, con el $0$ en el denominador por convenio. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{0}=\dfrac{z}{1}$ significa que ${y=3}$ en todos los puntos de la recta: no es una división entre cero.
• De implícitas a paramétricas: se resuelve el sistema de las dos ecuaciones, que es compatible indeterminado (Tema 3), con una incógnita como parámetro. También vale tomar un punto que cumpla las dos y, como director, el producto vectorial de los dos normales, ${\vec u=\vec n_1\times\vec n_2}$: la recta está en los dos planos, así que es perpendicular a los dos normales.

Un plano queda determinado por un punto $A$ y dos vectores directores $\vec u$ y $\vec v$ no paralelos: sus puntos son ${A+\alpha\,\vec u+\beta\,\vec v}$, con ${\alpha,\beta\in\mathbb{R}}$ (ecuaciones vectorial y paramétricas). O, más corto, por un punto y un vector normal ${\vec n=(A,B,C)}$, perpendicular al plano, que da la ecuación general ${Ax+By+Cz+D=0}$. Como $\vec n$ es perpendicular a $\vec u$ y a $\vec v$, se puede tomar ${\vec n=\vec u\times\vec v}$ (Tema 4).

• Ejemplo: el plano que pasa por ${A(1,0,2)}$ con directores ${\vec u=(1,1,0)}$ y ${\vec v=(0,2,1)}$. Su normal es ${\vec n=\vec u\times\vec v=(1,-1,2)}$, y con el punto $A$: ${1\,(x-1)-1\,(y-0)+2\,(z-2)=0}$, es decir, ${x-y+2z-5=0}$.
• Con un determinante (el otro camino hacia la general): el vector que va de $A$ a un punto cualquiera ${X(x,y,z)}$ del plano es coplanario con $\vec u$ y $\vec v$, así que el determinante de los tres vectores vale cero: $$\begin{vmatrix}x-1 & y & z-2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{vmatrix}=0\;\Longrightarrow\;(x-1)-y+2(z-2)=0\;\Longrightarrow\;x-y+2z-5=0.$$
• El normal se lee en los coeficientes de $x$, $y$ y $z$, también los que valen cero. En ${\pi\equiv 2x+3y=0}$ el normal es ${(2,3,0)}$: como no tiene $z$, el plano es vertical (paralelo al eje $Z$) y, como ${D=0}$, pasa por el origen y contiene al eje $Z$, como en el ejercicio de Canarias 2026.
• ¿Está un punto en el plano? Se sustituye en la ecuación general. Con ${A(1,0,2)}$ en ${x-y+2z-5=0}$: ${1-0+4-5=0}$, sí.
• De la general a paramétricas: se despeja una incógnita y las otras dos hacen de parámetros. De ${x-y+2z-5=0}$, con ${y=\alpha}$ y ${z=\beta}$: ${x=5+\alpha-2\beta}$.
• Cortes con los ejes: el plano ${3x+2y+z=6}$ corta a los ejes en ${(2,0,0)}$, ${(0,3,0)}$ y ${(0,0,6)}$ (se anulan dos coordenadas y se despeja la tercera). Dividiendo entre $6$ queda su ecuación segmentaria, ${\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6}=1}$.

Casi todos los ejercicios del tema piden una ecuación con condiciones. El método es siempre el mismo: traduce cada condición a un punto o a un vector y monta la ecuación con lo que tengas (para un plano, un punto y dos vectores no paralelos, o un punto y el normal; para una recta, un punto y el director).

• Plano por tres puntos: con ${A(1,0,0)}$, ${B(0,1,0)}$ y ${C(0,0,1)}$, los directores son ${\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)}$ y ${\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)}$, y el normal, $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1)$: el plano es ${x+y+z-1=0}$. Si el producto vectorial sale $\vec 0$, los tres puntos están alineados y hay infinitos planos.
• Rectas con dos condiciones: la recta que pasa por $P$ y corta a dos rectas $r$ y $s$ es la intersección del plano que contiene a $P$ y a $r$ con el plano que contiene a $P$ y a $s$ (o se busca el punto donde $s$ atraviesa el primero de esos planos). Comprueba al final que no sale paralela a $r$ ni a $s$: entonces no las cortaría. La que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a $r$ va de $P$ al punto $Q$ donde $r$ atraviesa el plano perpendicular a $r$ por $P$. Tienes las dos resueltas en «Ponte a prueba».
• Haz de planos (un atajo): si $r$ viene como corte de dos planos, ${\pi_1=0}$ y ${\pi_2=0}$, los planos que la contienen son ${\pi_1+t\,\pi_2=0}$, con ${t\in\mathbb{R}}$ (además del propio $\pi_2$). Por ejemplo, los que contienen a la recta ${x+y-z=1}$, ${2x-y+z=2}$ son ${x+y-z-1+t\,(2x-y+z-2)=0}$; con la otra condición se calcula $t$.

Dos rectas del espacio pueden ser coincidentes, paralelas, secantes (se cortan en un punto) o cruzarse: ni se cortan ni son paralelas, porque no están en un mismo plano. Primero se comparan los directores: si son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes (coincidentes si un punto de una está en la otra). Si no lo son, se cortan cuando tienen un punto común y se cruzan cuando no lo tienen.

• Atajo con el determinante (si los directores no son proporcionales): sea $\overrightarrow{A_rA_s}$ el vector que une un punto de cada recta. Si $\det(\vec u_r,\vec u_s,\overrightarrow{A_rA_s})=0$, los tres vectores son coplanarios y las rectas se cortan; si es distinto de cero, se cruzan.
• Ejemplo: ${r\equiv(x,y,z)=(1,0,0)+\lambda\,(1,1,0)}$ y ${s\equiv(x,y,z)=(0,1,1)+\mu\,(1,-1,1)}$. Los directores no son proporcionales, y con ${\overrightarrow{A_rA_s}=(-1,1,1)}$: $$\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{vmatrix}=-4\ne 0\;\Longrightarrow\;\text{las rectas se cruzan.}$$

Una recta y un plano pueden ser secantes (se cortan en un punto), paralelos (sin puntos comunes) o la recta puede estar contenida en el plano. Lo decide el producto escalar del director $\vec u$ de la recta por el normal $\vec n$ del plano: si ${\vec u\cdot\vec n\ne 0}$, son secantes; si ${\vec u\cdot\vec n=0}$, la recta va paralela al plano o por dentro, y lo decide un punto de la recta: si cumple la ecuación del plano, está contenida; si no, es paralela.

• Con un parámetro: $r\equiv x=1+\lambda,\;y=2\lambda,\;z=-1+a\lambda$ y ${\pi\equiv x+y-z=3}$. Con ${\vec u=(1,2,a)}$ y ${\vec n=(1,1,-1)}$: ${\vec u\cdot\vec n=1+2-a=3-a}$. Si ${a\ne 3}$, son secantes. Si ${a=3}$, el punto ${(1,0,-1)}$ de $r$ da ${1+0+1=2\ne 3}$: son paralelos.
• El punto de corte: se sustituyen las paramétricas de la recta en la ecuación del plano y se despeja el parámetro. Con ${a=1}$: ${(1+\lambda)+2\lambda-(-1+\lambda)=3}$, es decir, ${2+2\lambda=3}$, ${\lambda=\tfrac12}$, y el punto es ${\left(\tfrac32,\,1,\,-\tfrac12\right)}$.
• Otra forma, sin el producto escalar: al sustituir la recta en el plano sale una ecuación en $\lambda$. Si tiene una solución, secantes; si no tiene ninguna (queda ${0=k}$, con ${k\ne 0}$), paralelos; si la cumple cualquier $\lambda$ (queda ${0=0}$), contenida.

Dos planos pueden ser secantes (se cortan en una recta), paralelos o coincidentes. Se comparan sus normales: si no son proporcionales, son secantes. Si lo son (las razones entre los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ son iguales), decide el término independiente: si su razón es la misma, coincidentes; si es distinta, paralelos.

• Ejemplo: ${\pi_1\equiv x-2y+z-3=0}$ y ${\pi_2\equiv -2x+4y-2z-1=0}$. Las razones de los coeficientes valen $\tfrac{1}{-2}=\tfrac{-2}{4}=\tfrac{1}{-2}=-\tfrac12$, y la de los términos independientes, ${\tfrac{-3}{-1}=3}$, es distinta: son paralelos. Con ${+6}$ en lugar de ${-1}$ en $\pi_2$ serían coincidentes, porque ${\tfrac{-3}{6}=-\tfrac12}$.
• Planos perpendiculares: sus normales son perpendiculares, ${\vec n_1\cdot\vec n_2=0}$. Por ejemplo, ${x+y+z=0}$ y ${x-y=5}$: ${(1,1,1)\cdot(1,-1,0)=0}$.
• La recta de corte de dos planos secantes sale de resolver el sistema con un parámetro, como en el ejercicio de Aragón 2026; su director es ${\vec n_1\times\vec n_2}$.

Con tres planos se estudia el sistema de sus tres ecuaciones por Rouché-Frobenius (Tema 3), con $A$, la matriz de coeficientes, y $A^*$, la ampliada con los términos independientes. Si ${\operatorname{rg}A=3}$, se cortan en un punto. Si $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<3$, tienen infinitos puntos comunes: una recta (rango $2$) o todo un plano (rango $1$). Si ${\operatorname{rg}A<\operatorname{rg}A^*}$, no tienen ningún punto común; con ${\operatorname{rg}A=2}$ y ningún par de normales proporcional, se cortan dos a dos en tres rectas paralelas, como las caras de un prisma. La tabla del final recoge todos los casos.

• Ejemplo con parámetro: ${\pi_1\equiv x+y+z=1}$, ${\pi_2\equiv x-y+z=3}$ y ${\pi_3\equiv 2x+2z=a}$. $$|A|=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 2\end{vmatrix}=0$$ (la tercera fila es la suma de las otras dos) y el menor $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix}=-2\ne 0$: ${\operatorname{rg}A=2}$. Orlando con los términos independientes: $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & a\end{vmatrix}=8-2a$.
• Si ${a=4}$: ${\operatorname{rg}A^*=2}$, y los tres planos tienen una recta común, ${x=2-\lambda}$, ${y=-1}$, ${z=\lambda}$. Si ${a\ne 4}$: ${\operatorname{rg}A^*=3}$, no hay puntos comunes y, como ningún par de normales es proporcional, los planos se cortan dos a dos (forman un prisma).