Matrices: teoría y ejercicios PAU resueltos, Matemáticas II 2027

1Qué es una matriz

Una matriz de dimensión ${m\times n}$ es una tabla de números con $m$ filas y $n$ columnas. El elemento $a_{ij}$ es el que está en la fila $i$ y la columna $j$ .

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}\quad\text{es una matriz } 2\times 3.$
Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los mismos elementos en las mismas posiciones. Así se plantean muchos ejercicios: igualar elemento a elemento da un sistema de ecuaciones.
Para modelizar: con matrices se ordenan datos (tablas de precios o de producción), se describen grafos (matriz de adyacencia: un $1$ si hay conexión entre dos nodos) y evoluciones paso a paso, como las poblaciones del ejercicio de Aragón 2026: el vector de cada mes es una matriz por el del mes anterior.
Notación de los libros españoles: matrices con paréntesis, $A^t$ para la traspuesta, $A^{-1}$ para la inversa, $I$ (o $I_n$ ) para la identidad y $\operatorname{rg} A$ para el rango.

Tipo	Qué la caracteriza	Ejemplo
Fila / columna	Una sola fila ( $1\times n$ ) / una sola columna ( $m\times 1$ )	$(1\;\;2\;\;3)$ , $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$
Cuadrada de orden $n$	Tantas filas como columnas. La diagonal principal son los $a_{ii}$	$\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}$
Nula	Todos sus elementos son $0$	$O=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Diagonal	Cuadrada con ceros fuera de la diagonal principal	$\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$
Identidad $I$	Matriz diagonal con unos en la diagonal principal: $A\cdot I = I\cdot A = A$	$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Triangular	Cuadrada con ceros por debajo (superior) o por encima (inferior) de la diagonal	$\begin{pmatrix}1&4\\0&3\end{pmatrix}$
Simétrica	Cuadrada con $A^t=A$ : $a_{ij}=a_{ji}$	$\begin{pmatrix}1&7\\7&2\end{pmatrix}$
Antisimétrica	Cuadrada con $A^t=-A$ : ceros en la diagonal y $a_{ij}=-a_{ji}$	$\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$

2Operaciones con matrices

Suma y resta: solo entre matrices de la misma dimensión, elemento a elemento.
Producto por un número: se multiplica cada elemento. $2\begin{pmatrix}1&-1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\0&6\end{pmatrix}$ .
Producto de matrices $A\cdot B$ : solo si las columnas de $A$ son tantas como las filas de $B$ . Si $A$ es ${m\times n}$ y $B$ es $n\times p$ , el resultado es $m\times p$ . Cada elemento $c_{ij}$ es la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$ , término a término, y sumando.
$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot 5+2\cdot 6\\3\cdot 5+4\cdot 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17\\39\end{pmatrix}$
Propiedades del producto: es asociativo, $A(BC)=(AB)C$ , y distributivo por los dos lados, $A(B+C)=AB+AC$ y $(A+B)C=AC+BC$ . Pero no es conmutativo: en general $AB\ne BA$ (y a veces uno de los dos productos ni siquiera existe).

Lo que con números funciona y con matrices no

Como $AB\ne BA$ , las identidades notables cambian: $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$ , que solo es ${A^2+2AB+B^2}$ si $A$ y $B$ conmutan. Y $AB=O$ no obliga a que $A=O$ o $B=O$ : por ejemplo, $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=O$ .

3La matriz traspuesta

La traspuesta $A^t$ se obtiene cambiando filas por columnas: la primera fila de $A$ es la primera columna de $A^t$ . Si $A$ es ${m\times n}$ , $A^t$ es $n\times m$ .

$B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}\;\;\Longrightarrow\; B^t=\begin{pmatrix}-1&1\\-3&2\end{pmatrix}$
Propiedades: $(A^t)^t=A$ ; $(A+B)^t=A^t+B^t$ ; $(kA)^t=kA^t$ ; y la que más cae: $(AB)^t=B^t A^t$ (cambia el orden).
Una matriz es simétrica si $A^t=A$ y antisimétrica si $A^t=-A$ .

4Potencias de una matriz

Para una matriz cuadrada, $A^2=A\cdot A$ , $A^3=A^2\cdot A$ , y así sucesivamente. Cuando piden $A^n$ o $A^{100}$ , nadie multiplica cien veces: se busca el patrón.

Atajos que salen en la PAU: si al calcular sale $A^2=I$ , las potencias se repiten: $A^n=I$ si $n$ es par y $A^n=A$ si $n$ es impar. Si $A^2=A$ , entonces $A^n=A$ ; si $A^2=kA$ , entonces $A^n=k^{n-1}A$ . Y si sale $A^k=O$ , todas las siguientes son nulas.

Calcula las primeras potencias $A^2$ y $A^3$ (a veces $A^4$ ), siempre fila por columna.
Localiza lo que cambiaQué elementos se mueven y cómo dependen del exponente: un $2$ , un $3$ … o $a^2$ , $a^3$ …
Escribe la fórmula con $n$ Y justifícala: multiplica $A$ por tu fórmula de $A^n$ y comprueba que sale la fórmula con $n+1$ .

Error típico que te quita puntos

Elevar cada elemento a la potencia. $A^2$ no es la matriz de los cuadrados: es $A\cdot A$ , fila por columna. Y quedarse en $A^2$ y $A^3$ sin dar la fórmula general puntúa menos: en Aragón 2026, por ejemplo, valía la mitad ( $0{,}4$ de $0{,}8$ ).

5La matriz inversa

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es la matriz $A^{-1}$ que cumple $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$ . Si existe, $A$ es regular (o invertible); si no, es singular.

Cuándo existe: si y solo si $A$ , de orden $n$ , tiene rango $n$ (en el Tema 2 verás que equivale a $|A|\ne 0$ ). En la PAU hay que justificarlo antes de usar $A^{-1}$ : los criterios de Aragón 2026 dan como falta de rigor «No justificar que una matriz es regular para usar su inversa».
Atajo para $2\times 2$ : $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},\qquad\text{si } {ad-bc}\ne 0.$ Se intercambian los de la diagonal principal, se cambian de signo los otros dos y se divide entre ${ad-bc}$ .
Cálculo por Gauss-Jordan (para matrices $3\times 3$ , o cuando no se usa el atajo): los tres pasos de abajo.
Propiedades: $(A^{-1})^{-1}=A$ ; $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$ ; y $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ (otra vez, cambia el orden).

Escribe $(A\,|\,I)$ La matriz y, a su derecha, la identidad del mismo orden.
Opera por filasCon las operaciones de Gauss (sumar a una fila un múltiplo de otra, multiplicar una fila por un número distinto de cero, intercambiar filas) en las dos partes a la vez.
Llega a $(I\,|\,A^{-1})$ Cuando a la izquierda queda la identidad, lo de la derecha es la inversa. Si a la izquierda sale una fila de ceros, $A$ no tiene inversa.

6El rango de una matriz

El rango de una matriz, $\operatorname{rg} A$ , es el número máximo de filas linealmente independientes, que siempre coincide con el número máximo de columnas linealmente independientes.

Cómo se calcula (método de Gauss): se escalona la matriz con operaciones de fila, que no cambian el rango, y se cuentan las filas que no son todo ceros.
$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&6&4\end{pmatrix}\xrightarrow[F_3-3F_1]{F_2-2F_1}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\xrightarrow{F_3-F_2}\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\operatorname{rg}A=2$
Con un parámetro: escalona sin dividir ni multiplicar una fila por expresiones que puedan valer cero (los criterios de Aragón 2026 lo dan como falta de rigor). Al final, mira para qué valores del parámetro se anula algún pivote. Cada valor «especial» es un caso aparte: sustitúyelo en la matriz y vuelve a escalonar.
En el Tema 2 lo calcularás también por menores (determinantes), que es el otro método que aceptan los criterios.

Justifica siempre el rango

Los criterios de calificación de Canarias 2026 lo dicen así (criterio H): «Los rangos de las matrices hay que justificarlos (puede hacerse por la técnica de menores orlados o reduciendo la matriz a una escalonada por filas equivalentes)». Y los de Aragón 2026: «En ningún caso se otorgará la calificación máxima cuando únicamente se dé el resultado sin aportar ningún cálculo ni explicación».

7Ecuaciones y sistemas matriciales

Con matrices no se divide. Para «quitar» una matriz que multiplica a la incógnita $X$ , se multiplica por su inversa por el mismo lado en los dos miembros, porque $A^{-1}A=I$ e $IX=X$ .

Sistemas de ecuaciones matriciales (por ejemplo, $2X+3Y=A$ , $X-2Y=B$ ): se resuelven por reducción, igual que con números. Al final sí se puede dividir, pero solo entre un número, nunca entre una matriz.

Junta las $X$ Todos los términos con $X$ a un lado, como en una ecuación normal.
Saca factor común por el lado correctoSi la $X$ está a la derecha en todos los términos, factor común por la derecha. Los números que acompañan a la $X$ se convierten en múltiplos de $I$ . Si la $X$ no queda en el mismo lado ( $AX+XB=C$ ), no se puede sacar factor común: se plantea con las incógnitas de $X$ .
Justifica la inversaRango igual al orden (o ${ad-bc}\ne 0$ en una $2\times 2$ ).
Multiplica por la inversa por ese ladoY opera sin cambiar el orden de los productos.

Ecuación	Se multiplica por…	Solución
$AX=B$	$A^{-1}$ por la izquierda	$X=A^{-1}B$
$XA=B$	$A^{-1}$ por la derecha	$X=BA^{-1}$
$AXB=C$	$A^{-1}$ por la izquierda y $B^{-1}$ por la derecha	$X=A^{-1}CB^{-1}$
$AX+BX=C$	factor común por la derecha: $(A+B)X=C$	$X=(A+B)^{-1}C$
$AX+kX=C$	$kX=kIX$ , así que $(A+kI)X=C$	$X=(A+kI)^{-1}C$

En cada caso hay que justificar que la matriz que se invierte tiene inversa.

Errores típicos que te quitan puntos

Escribir $(A+2)X$ en lugar de $(A+2I)X$ : no se puede sumar un número a una matriz. Multiplicar por la inversa por el lado equivocado ( $X=BA^{-1}$ cuando era $X=A^{-1}B$ ). Y «simplificar» $A$ y $A^{-1}$ cuando no están juntas: de $AXA^{-1}=C$ no sale $X=C$ , sino $X=A^{-1}CA$ .

8Ejercicio resuelto: potencias de una matriz (Aragón 2026)

PAU Aragón 2026 · Convocatoria ordinaria · Pregunta 1 (obligatoria, 2 puntos)

Examen oficial (PDF)

En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes $k$ viene dada por $a_k$ , $b_k$ y $c_k$ , respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes $k+1$ y en el mes anterior, $k$ : $\begin{pmatrix}a_{k+1}\\b_{k+1}\\c_{k+1}\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}$ con $M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$

a) Si en el instante inicial ( $k=0$ ) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después? (0,5 puntos)
b) Razona (sin calcular $M^k$ ) que se cumple la siguiente relación $\begin{pmatrix}a_k\\b_k\\c_k\end{pmatrix}=M^k\begin{pmatrix}a_0\\b_0\\c_0\end{pmatrix}$ , donde $a_0$ , $b_0$ y $c_0$ son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial. (0,5 puntos)
c) Calcula $M^k$ con $k\in\mathbb{N}$ . ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo? (1 punto)

Vídeo explicado · muy prontoPotencias de una matriz Mᵏ explicadas paso a paso (PAU Aragón 2026)Te explicamos cómo se hace, paso a paso, con el enunciado siempre a la vista. Unos 5 minutos.

Ver la resolución paso a paso

Apartado a)

Llamamos $v_k=(a_k,\,b_k,\,c_k)^t$ . Cada mes se multiplica $M$ por el vector del mes anterior, fila por columna: $v_1=Mv_0=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}100\\124\\234\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\224\\334\end{pmatrix}.$
Lectura de $M$ : la especie A no cambia, y B y C ganan cada mes tantos ejemplares como haya de A.
$v_2=Mv_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}100\\224\\334\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100\\324\\434\end{pmatrix}.$

Solución Dos meses después hay 100 ejemplares de A, 324 de B y 434 de C.

Apartado b)

$v_1=Mv_0$ ; $v_2=Mv_1=M(Mv_0)=M^2v_0$ ; $v_3=Mv_2=M(M^2v_0)=M^3v_0$ . Cada mes añade otra $M$ (el producto es asociativo).
Los criterios de Aragón: «No se pretende que demuestren la propiedad por inducción. Se obtendrá la puntuación máxima si observan que se cumple para algunos valores de k y deducen el resultado».

Solución $v_k=M^k\,v_0$ .

Apartado c)

$M^2=M\cdot M=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&1&0\\2&0&1\end{pmatrix}$ (por ejemplo, fila 2 por columna 1: $1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 1=2$ ) y $M^3=M^2\cdot M=\begin{pmatrix}1&0&0\\3&1&0\\3&0&1\end{pmatrix}$ .
Solo cambian los dos elementos de la primera columna bajo la diagonal, que valen el exponente. Comprobación: $M\cdot\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\k&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\k+1&1&0\\k+1&0&1\end{pmatrix}$ , la fórmula con $k+1$ .
Con el tiempo: $v_k=M^kv_0=\begin{pmatrix}100\\124+100k\\234+100k\end{pmatrix}$ .

Solución $M^k=\begin{pmatrix}1&0&0\\k&1&0\\k&0&1\end{pmatrix}$ . A se mantiene en 100 ejemplares; B y C crecen sin límite, 100 ejemplares más cada mes.

Lo que puntúa. Criterios oficiales de Aragón: a) si solo se plantean los cálculos sin obtener los valores, 0,2. c) Hallar $M^k$ : 0,8 (si solo se calculan $M^2$ y $M^3$ , 0,4); explicar lo que ocurrirá: 0,2.

Error típico que te quita puntos. Elevar cada elemento de $M$ al cuadrado: aquí daría otra vez $M$ , y $M^2\ne M$ .

9Ejercicio resuelto: ecuación y sistema matriciales (Extremadura 2026)

PAU Extremadura 2026 · Convocatoria ordinaria · Ejercicio 1.B (2,5 puntos)

Examen oficial (PDF)

Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}-2&3\\-1&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&2\end{pmatrix}$ .

a) Resolver la ecuación matricial $A\cdot X=B^t-2X$ , donde $B^t$ es la traspuesta de la matriz $B$ . (1,25 puntos)
b) Resolver el sistema matricial de ecuaciones: $2X+3Y=A$ , $X-2Y=B$ . (1,25 puntos)

Vídeo explicado · muy prontoEcuaciones matriciales: cómo despejar X (PAU Extremadura 2026)Te explicamos cómo se hace, paso a paso, con el enunciado siempre a la vista. Unos 5 minutos.

Ver la resolución paso a paso

Apartado a)

$B^t=\begin{pmatrix}-1&1\\-3&2\end{pmatrix}$ (filas por columnas).
Juntamos las $X$ y sacamos factor común por la derecha, con la identidad: $AX+2X=B^t\;\Rightarrow\;(A+2I)X=B^t$ .
$C=A+2I=\begin{pmatrix}0&3\\-1&4\end{pmatrix}$ , con $ad-bc=0\cdot 4-3\cdot(-1)=3\ne 0$ : tiene inversa, $C^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-3\\1&0\end{pmatrix}$ .
Multiplicando por $C^{-1}$ por la izquierda: $X=C^{-1}B^t=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4&-3\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\-3&2\end{pmatrix}$ .

Solución $X=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5&-2\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-1/3&1/3\end{pmatrix}$ .

Apartado b)

Por reducción. Restando a la primera ecuación el doble de la segunda: $7Y=A-2B=\begin{pmatrix}0&9\\-3&-2\end{pmatrix}$ .
Sumando el doble de la primera y el triple de la segunda: $7X=2A+3B=\begin{pmatrix}-7&-3\\1&10\end{pmatrix}$ .
Comprobación en la segunda ecuación: $X-2Y=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}-7&-21\\7&14\end{pmatrix}=B$ .

Solución $X=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}-7&-3\\1&10\end{pmatrix}$ e $Y=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}0&9\\-3&-2\end{pmatrix}$ .

Lo que puntúa. El examen no trae criterios específicos. Los generales de Extremadura piden expresar de forma razonada el proceso, con rigor y la notación adecuada (hasta 0,25 puntos por ejercicio).

Error típico que te quita puntos. Escribir $(A+2)X$ en vez de $(A+2I)X$ , o calcular $X=B^tC^{-1}$ (multiplicar por la inversa por el lado equivocado).

10Ejercicio resuelto: rango, la potencia 100 y una ecuación con inversas (Cantabria 2026)

PAU Cantabria 2026 · Convocatoria ordinaria · Apartado 1, tarea 1A (2,5 puntos)

Examen oficial (PDF)

Considera la matriz presentada a continuación, $A=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&a\end{pmatrix}$ dependiente del parámetro $a\in\mathbb{R}$ . Responde a las siguientes cuestiones:

a) Estudia el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$ . (0,5 puntos)
b) Calcula $A^{100}$ en función del parámetro $a$ . (1 punto)
c) Para $a=-1$ , calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple: $AXA^{-1}=\begin{pmatrix}2&2&2\\0&0&-1\\0&-2&-2\end{pmatrix}$ (1 punto)

Vídeo explicado · muy prontoRango de una matriz, potencia A¹⁰⁰ e inversa por Gauss-Jordan (PAU Cantabria 2026)Te explicamos cómo se hace, paso a paso, con el enunciado siempre a la vista. Unos 4 minutos.

Ver la resolución paso a paso

Apartado a)

$A$ ya está escalonada: los pivotes $1$ , $1$ y $a$ están en columnas distintas. Las dos primeras filas nunca se anulan.
Si $a\ne 0$ , hay tres filas no nulas; si $a=0$ , la tercera fila es $(0\;\;0\;\;0)$ .

Solución $\operatorname{rg}A=3$ si $a\ne 0$ ; $\operatorname{rg}A=2$ si $a=0$ .

Apartado b)

$A^2=\begin{pmatrix}1&2a&0\\0&1&0\\0&0&a^2\end{pmatrix}$ , $A^3=\begin{pmatrix}1&3a&0\\0&1&0\\0&0&a^3\end{pmatrix}$ : arriba se suma $a$ cada vez y en la esquina se multiplica por $a$ .
Fórmula: $A^n=\begin{pmatrix}1&na&0\\0&1&0\\0&0&a^n\end{pmatrix}$ . Se justifica con $A\cdot A^n=\begin{pmatrix}1&(n+1)a&0\\0&1&0\\0&0&a^{n+1}\end{pmatrix}=A^{n+1}$ .

Solución $A^{100}=\begin{pmatrix}1&100a&0\\0&1&0\\0&0&a^{100}\end{pmatrix}$ .

Apartado c)

Con $a=-1$ , $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ tiene rango $3$ : es regular y sí es posible. Llamamos $C$ a la matriz del enunciado.
Multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $A$ por la derecha: $A^{-1}(AXA^{-1})A=A^{-1}CA$ , es decir, $X=A^{-1}CA$ .
Por Gauss-Jordan ( $F_1\to F_1+F_2$ , $F_3\to -F_3$ ): $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ .
$CA=\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&0&1\\0&-2&2\end{pmatrix}$ y $X=A^{-1}(CA)$ .

Solución $X=\begin{pmatrix}2&0&-1\\0&0&1\\0&2&-2\end{pmatrix}$ (comprobación: $AXA^{-1}=C$ ).

Lo que puntúa. El examen no trae criterios específicos; sus indicaciones dicen que debe exponerse con claridad el planteamiento o el método y que todas las respuestas deben ser razonadas.

Error típico que te quita puntos. Pensar que $A$ y $A^{-1}$ se simplifican y que $X=C$ : solo se simplifican si están juntas, y aquí la $X$ está en medio.

Conceptos clave

Matriz traspuesta: La que se obtiene cambiando filas por columnas, $A^t$ . Cumple $(AB)^t=B^tA^t$ .
Matriz simétrica: Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta ( $A^t=A$ )
Matriz antisimétrica: Matriz cuadrada que cumple $A^t=-A$ ; tiene ceros en la diagonal principal.
Matriz identidad: Matriz cuadrada $I$ con unos en la diagonal principal y ceros fuera; es el neutro del producto: $AI=IA=A$ .
Matriz inversa: La matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ . Existe si y solo si $A$ es cuadrada y su rango es igual a su orden.
Matriz regular: Matriz cuadrada que tiene inversa (también se dice invertible). Si no la tiene, es singular.
Rango de una matriz: Número máximo de filas (o de columnas) linealmente independientes. Se calcula escalonando por Gauss o por menores.
Método de Gauss-Jordan: Cálculo de la inversa operando por filas en $(A\,|\,I)$ hasta llegar a $(I\,|\,A^{-1})$ .
Ecuación matricial: Ecuación cuya incógnita es una matriz $X$ ; se despeja multiplicando por inversas, respetando el lado.

Modo PAU

Siete reglas que valen puntos

ProductoFila por columna. Solo si columnas de

A

= filas de

B

.

OrdenEn general

AB\ne BA

: el lado importa siempre.

Traspuesta

(AB)^t=B^tA^t

Inversa

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

; existe si y solo si el rango es igual al orden.

Inversa 2 × 2

\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

Factor común

AX+kX=(A+kI)X

, nunca

(A+k)X

.

PotenciasCalcula

A^2

,

A^3

, busca el patrón y da la fórmula de

A^n

.

Cómo te lo pueden preguntar

Despeja $X$ en una ecuación matricial y calcúlala (a menudo con la traspuesta de por medio).
Resuelve un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas $X$ e $Y$ .
Calcula $A^n$ o $A^{100}$ , a veces con un parámetro, o usa $A^2=I$ para simplificar potencias.
Estudia el rango de una matriz según los valores de un parámetro.
Halla los parámetros para que se cumpla una igualdad ( $AB=I$ , $A^2=A$ , $A$ simétrica…).
Halla las matrices que conmutan con $A$ ( $AX=XA$ ): se plantea con las incógnitas de $X$ .

No lo confundas

$X=A^{-1}B$ (de $AX=B$ ) con $X=BA^{-1}$ (de $XA=B$ ): no son iguales.
$A^2$ (producto $A\cdot A$ ) con la matriz de los cuadrados de los elementos.
$(AB)^t=B^tA^t$ con $A^tB^t$ , que en general es otra matriz.
Rango (número de filas independientes) con orden (número de filas de una matriz cuadrada).

Ponte a prueba

PAU Castilla-La Mancha 2026, Pregunta 3. a) [1 punto] Determina los valores de $a$ y $b$ para que las matrices A y B cumplan que $A\cdot B=I$ , donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. $A=\begin{pmatrix}1&a&1\\1&2&1\\1&1&b\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ b) [1 punto] Resuelve razonadamente el siguiente sistema de ecuaciones $\begin{cases} X+Y=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}\\[6pt] 2X+3Y=\begin{pmatrix}4&1\\7&9\end{pmatrix}\end{cases}$

Ver solución

a) $AB=\begin{pmatrix}2-a&a-1&0\\0&1&0\\2-b&0&b-1\end{pmatrix}$ ; igualando a $I$ : $a=1$ y $b=2$ . b) Restando a la segunda ecuación el doble de la primera: $Y=\begin{pmatrix}2&1\\3&3\end{pmatrix}$ , y entonces $X=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}-Y=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&0\end{pmatrix}$ .

PAU Galicia 2026, Pregunta 2.1 (2 puntos). Considérese la igualdad matricial $A(X-I)B=C$ , donde $X$ es cuadrada e $I$ es la matriz identidad. 2.1.1. Despeje $X$ suponiendo que $A$ y $B$ son cuadradas e invertibles. 2.1.2. ¿Qué dimensiones tienen $X$ y $B$ si $A$ y $C$ son matrices $1\times 2$ ? Obtenga $X$ , simétrica y tal que los elementos de su diagonal sumen 0, si $A=(1\quad 1)$ , $B=I$ y $C=(0\quad 0)$ .

Ver solución

2.1.1. Multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha: $X-I=A^{-1}CB^{-1}$ , así que $X=A^{-1}CB^{-1}+I$ . 2.1.2. Para que $A(X-I)$ exista, $X$ tiene $2$ filas; como es cuadrada, es $2\times 2$ ; y para que $A(X-I)B$ sea $1\times 2$ , $B$ es $2\times 2$ . Con $X=\begin{pmatrix}p&q\\q&-p\end{pmatrix}$ : $(1\quad 1)(X-I)=(p+q-1\quad q-p-1)=(0\quad 0)$ , luego $q=1$ , $p=0$ y $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

PAU Madrid 2026, Pregunta 1 (2 puntos). Dada la matriz real $A=\begin{pmatrix}1&\lambda-2&\lambda\\0&1&\lambda-1\\1&0&1\end{pmatrix},$ se pide: a) (1 punto) Discutir el rango de $A$ en función del parámetro $\lambda$ . b) (1 punto) Para el caso $\lambda=2$ , resolver la ecuación matricial $A^2-AX=I$ , donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Ver solución

a) Escalonando: $F_3\to F_3-F_1$ da $(0\quad 2-\lambda\quad 1-\lambda)$ , y $F_3\to F_3-(2-\lambda)F_2$ da $(0\quad 0\quad (1-\lambda)(3-\lambda))$ . Si $\lambda\ne 1$ y $\lambda\ne 3$ , $\operatorname{rg}A=3$ ; si $\lambda=1$ o $\lambda=3$ , $\operatorname{rg}A=2$ (las dos primeras filas no se anulan nunca). b) Con $\lambda=2$ , $A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ tiene rango $3$ (por el apartado a), así que tiene inversa. De $AX=A^2-I$ , multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda: $X=A-A^{-1}$ . Por Gauss-Jordan, $A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&2\\-1&1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}$ , y $X=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&0&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ .

Matrices.

Lo que vas a aprender.

Los apuntes del tema.

1Qué es una matriz

2Operaciones con matrices

3La matriz traspuesta

4Potencias de una matriz

5La matriz inversa

6El rango de una matriz

7Ecuaciones y sistemas matriciales

8Ejercicio resuelto: potencias de una matriz (Aragón 2026)

9Ejercicio resuelto: ecuación y sistema matriciales (Extremadura 2026)

10Ejercicio resuelto: rango, la potencia 100 y una ecuación con inversas (Cantabria 2026)

Conceptos clave

Siete reglas que valen puntos

Ponte a prueba

Fuentes

Repasa el tema.

¿Qué te ha parecido este tema?

¿Te ha servido? Pásaselo a tu clase.