Ángulos, distancias, áreas y volúmenes.

Todo ángulo del espacio se calcula con el ángulo de dos vectores: los directores de las rectas ($\vec u$, $\vec v$) y los normales de los planos ($\vec n$, que son los coeficientes de $x$, $y$, $z$ en la ecuación general). Como dos rectas o dos planos forman dos ángulos (uno y su suplementario), se toma siempre el menor: entre $0^\circ$ y $90^\circ$. Por eso las fórmulas llevan valor absoluto arriba.

• Por qué recta y plano van con el seno (las tres fórmulas, en la tabla de abajo): el vector normal $\vec n$ es perpendicular al plano, así que el ángulo $\beta$ que forman $\vec v$ y $\vec n$ es el complementario del que buscas: ${\alpha=90^\circ-\beta}$, y ${\cos\beta=\operatorname{sen}\alpha}$.
• Dos planos: ${\pi_1\equiv x+y-1=0}$ y ${\pi_2\equiv y+z-2=0}$ tienen ${\vec n_1=(1,1,0)}$ y ${\vec n_2=(0,1,1)}$: $$\cos\alpha=\frac{|0+1+0|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12\;\Longrightarrow\;\alpha=60^\circ.$$
• Recta y plano: la recta de vector director ${\vec v=(0,1,1)}$ y el plano ${z=0}$, de normal ${\vec n=(0,0,1)}$: $\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{|1|}{\sqrt2\cdot 1}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, así que ${\alpha=45^\circ}$. Tiene sentido: la recta sube lo mismo que avanza.
• El eje Z (o cualquier eje) es una recta más: pasa por el origen con vector director ${\vec k=(0,0,1)}$. El ángulo se mide con las direcciones aunque las rectas se crucen y no tengan ningún punto común.

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une: ${d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|}$. Por ejemplo, de ${A(1,2,0)}$ a ${B(3,-1,6)}$: ${\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{49}=7}$. La distancia de un punto a un plano es la más corta, la que va por la perpendicular.

• $$d(P,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},\qquad\text{con } P(x_0,y_0,z_0)\text{ y } \pi\equiv Ax+By+Cz+D=0.$$
• Arriba, el plano igualado a cero con el punto sustituido; abajo, el módulo del vector normal. De ${P(3,1,-2)}$ a ${\pi\equiv x+2y-2z+1=0}$: $$d(P,\pi)=\frac{|3+2+4+1|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{10}{3}\text{ u}.$$
• Dos planos paralelos: se toma un punto de uno y se mide al otro. Si están escritos con los mismos coeficientes $A$, $B$, $C$, hay atajo: $d(\pi,\pi')=\dfrac{|D-D'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Entre ${\pi\equiv x+2y-2z+1=0}$ y ${\pi'\equiv x+2y-2z-8=0}$: ${\dfrac{|1-(-8)|}{3}=3}$ u.
• Si los coeficientes son proporcionales pero no iguales, divide antes: ${2x+4y-4z-16=0}$ es el mismo plano $\pi'$, y con el ${-16}$ sin dividir el atajo daría $\tfrac{17}{3}$, que está mal.
• El signo de ${Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ dice a qué lado del plano está el punto: dos puntos que dan valores opuestos (el mismo valor absoluto, con distinto signo) están a la misma distancia, uno a cada lado. Para que sean simétricos falta, además, que $\overrightarrow{PP'}$ sea proporcional a $\vec n$.

Para medir de un punto $P$ a una recta $r$ hace falta un punto $A$ de la recta y su vector director $\vec v$. El paralelogramo de lados $\overrightarrow{AP}$ y $\vec v$ tiene área ${|\overrightarrow{AP}\times\vec v|}$ (Tema 4), su base mide $|\vec v|$ y su altura es justo la distancia:

• $$d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec v|}{|\vec v|}$$
• Ejemplo: ${r\equiv\dfrac x1=\dfrac y2=\dfrac z2}$ pasa por ${A(0,0,0)}$ con ${\vec v=(1,2,2)}$, y ${P(3,0,3)}$. Entonces $\overrightarrow{AP}\times\vec v=(3,0,3)\times(1,2,2)=(-6,-3,6)$, de módulo ${\sqrt{81}=9}$, y ${|\vec v|=3}$: ${d(P,r)=\tfrac93=3}$ u.
• Otro camino (el de los libros que no usan el producto vectorial): busca el punto $M$ de $r$ más cercano a $P$, la proyección ortogonal, con los tres pasos de abajo. La distancia es $|\overrightarrow{PM}|$.

Antes de medir entre una recta y un plano, entre dos planos o entre dos rectas, estudia su posición (Tema 5). Si se cortan o coinciden, la distancia es $0$. Si son paralelos, todos los puntos de uno están a la misma distancia del otro: basta con medir desde un punto.

• Ejemplo (Madrid 2026): $r\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac y1=\dfrac z4$ y ${\pi\equiv 2x+2y-z=13}$. $\vec v_r\cdot\vec n=(1,1,4)\cdot(2,2,-1)=0$ y el punto ${(2,0,0)}$ de $r$ no está en $\pi$ (${4\ne 13}$): son paralelos y ${d(r,\pi)=3}$ u. Está resuelto entero más abajo.

Dos rectas se cruzan si no son paralelas y no se cortan: no hay ningún plano que las contenga a las dos. Con $A\in r$, $B\in s$ y sus vectores directores $\vec u$ y $\vec v$ no proporcionales, se cruzan si y solo si ${[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]\ne 0}$.

• $$d(r,s)=\frac{|[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]|}{|\vec u\times\vec v|}$$
• Por qué: el valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo de $\overrightarrow{AB}$, $\vec u$ y $\vec v$; ${|\vec u\times\vec v|}$ es el área de su base; y volumen entre base es la altura, que es la distancia entre los dos planos paralelos que contienen a cada recta, es decir, la distancia entre las rectas.
• Ejemplo sencillo: el eje X (${A(0,0,0)}$, ${\vec u=(1,0,0)}$) y la recta ${s\equiv x=0,\ z=2}$ (${B(0,0,2)}$, ${\vec v=(0,1,0)}$). ${\vec u\times\vec v=(0,0,1)}$ y ${[\overrightarrow{AB},\vec u,\vec v]=2}$: ${d=\tfrac21=2}$. La perpendicular común es el tramo del eje Z entre ${(0,0,0)}$ y ${(0,0,2)}$.
• La perpendicular común es la recta que corta a las dos y es perpendicular a ambas. Sus puntos de apoyo $P\in r$ y $Q\in s$ son los más cercanos entre sí, y ${|\overrightarrow{PQ}|=d(r,s)}$. Se hallan con los pasos de abajo. Otro camino: es la intersección del plano que contiene a $r$ con dirección ${\vec u\times\vec v}$ y el que contiene a $s$ con esa misma dirección.

La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre un plano o una recta es el punto $M$ donde cae la perpendicular desde $P$: el punto del plano o de la recta más cercano a $P$. El simétrico $P'$ está al otro lado, en la misma perpendicular y a la misma distancia, así que $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$.

• Sobre un plano, con los tres pasos de abajo. En Madrid 2026, ${P(2,0,0)}$ y ${\pi\equiv 2x+2y-z=13}$ dan ${\lambda=1}$, ${M(4,2,-1)}$ y ${P'(6,4,-2)}$. Resuelto entero más abajo.
• Sobre una recta: se corta $r$ con el plano perpendicular a $r$ por $P$ (sección «Distancia de un punto a una recta»). Con ${r\equiv\dfrac x1=\dfrac y2=\dfrac z2}$ y ${P(3,0,3)}$: ${M(1,2,2)}$ y el simétrico respecto a la recta es ${P'=2M-P=(-1,4,1)}$.
• Respecto a un punto $Q$: $Q$ es directamente el punto medio, ${P'=2Q-P}$. Es lo que pide Galicia 2026 (4.1.1): el simétrico de ${P(1,0,1)}$ respecto a ${Q(0,1,0)}$ es ${P'=(0,2,0)-(1,0,1)=(-1,2,-1)}$.
• Proyección de una recta sobre un plano: si la recta corta al plano, es la recta que une el punto de corte con la proyección de otro de sus puntos; y si $r$ no es perpendicular a $\pi$, también es la intersección de $\pi$ con el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$ (si ${r\perp\pi}$, la proyección es solo el punto de corte). En Madrid 2026, como ${r\parallel\pi}$, sale la paralela a $r$ por $M$: ${(x,y,z)=(4,2,-1)+\mu(1,1,4)}$.

Las áreas y los volúmenes se calculan con los productos vectorial y mixto del Tema 4 (fórmulas en la tabla de abajo), sacando antes los vectores desde un vértice (${\overrightarrow{AB}=B-A}$…).

• Ejemplo: ${A(1,0,0)}$, ${B(0,1,0)}$, ${C(0,0,1)}$. $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)\times(-1,0,1)=(1,1,1)$, así que el triángulo mide ${\tfrac12\,|(1,1,1)|=\tfrac{\sqrt3}{2}}$ u². Con ${D=O(0,0,0)}$, el tetraedro $OABC$ tiene volumen $\tfrac16\,|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}]|=\tfrac16$ u³.
• Altura de un tetraedro = distancia del vértice al plano de la base. Comprobación en el ejemplo: el plano $ABC$ es ${x+y+z-1=0}$, ${d(O,\pi)=\tfrac{1}{\sqrt3}}$ y $V=\tfrac13\cdot S\cdot h=\tfrac13\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}=\tfrac16$.
• Puntos de una recta a una distancia dada de un punto: punto genérico de la recta en paramétricas, distancia igual al dato y al cuadrado. Sale una ecuación de segundo grado: dos puntos, uno (la recta es tangente a la esfera) o ninguno.
• Puntos (o planos) a una distancia dada de un plano: el valor absoluto da dos ecuaciones. Los planos paralelos a ${\pi\equiv x+2y-2z+1=0}$ a distancia $1$ son ${x+2y-2z+D=0}$ con ${\tfrac{|D-1|}{3}=1}$: ${D=4}$ o ${D=-2}$, uno a cada lado.
• Puntos que equidistan de $A$ y $B$: forman el plano mediador, perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ por el punto medio. Con ${A(1,3,-2)}$ y ${B(3,-1,2)}$, como en Extremadura 2026 (3.A a): punto medio ${(2,1,0)}$, ${\overrightarrow{AB}=(2,-4,4)}$ y el plano ${x-2y+2z=0}$.