Sistemas de ecuaciones lineales: ejercicios resueltos PAU 2027

1Sistemas de ecuaciones lineales y su expresión matricial

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones en las que las incógnitas aparecen con exponente $1$ y sin multiplicarse entre sí. Una solución es un conjunto de valores de las incógnitas que cumple todas las ecuaciones a la vez; resolver el sistema es encontrar todas sus soluciones.

Expresión matricial ${AX=B}$ : $A$ es la matriz de coeficientes, $X$ la columna de las incógnitas y $B$ la de los términos independientes. $\begin{cases}x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2\end{cases}\iff\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}_{X}=\underbrace{\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix}}_{B}$
La matriz ampliada $A^*$ (también se escribe ${(A\,|\,B)}$ ) es $A$ con la columna $B$ añadida: $A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2\end{array}\right)$
Si $A$ es cuadrada y tiene inversa, ${AX=B}$ se resuelve como en el Tema 1: ${X=A^{-1}B}$ . Funciona, pero con sistemas ${3\times 3}$ suele ser más rápido Gauss o Cramer.
Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Estas operaciones no cambian las soluciones: intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero y sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Tipo de sistema	Soluciones	Ejemplo con dos incógnitas
Compatible determinado	Una sola	${x+y=2}$ , ${x-y=0}$ : solo ${(1,1)}$
Compatible indeterminado	Infinitas	${x+y=2}$ , ${2x+2y=4}$ : ${(2-\lambda,\,\lambda)}$ , $\lambda\in\mathbb{R}$
Incompatible	Ninguna	${x+y=2}$ , ${x+y=3}$ : imposible

Un sistema lineal nunca tiene exactamente dos soluciones: si tiene dos, tiene infinitas. Por eso «más de una solución» quiere decir compatible indeterminado.

2El método de Gauss

Consiste en pasar a un sistema equivalente escalonado (cada ecuación con al menos una incógnita menos que la anterior) operando con las filas de la matriz ampliada, y después resolverlo de abajo arriba.

Con el sistema de la sección anterior: $\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-F_1]{F_2-2F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4\end{array}\right)\xrightarrow{3F_3+F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 0 & -7 & -21\end{array}\right)$
De abajo arriba: ${-7z=-21}$ , así que ${z=3}$ ; ${-3y-3=-9}$ , así que ${y=2}$ ; y ${x+2+3=6}$ , así que ${x=1}$ . Solución: ${(x,y,z)=(1,2,3)}$ .
Con infinitas soluciones, la escalonada se queda con menos filas no nulas que incógnitas. En el sistema ${x+y+z=3}$ , ${x-y+3z=1}$ , ${2x+4z=4}$ : $\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 4\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-2F_1]{F_2-F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 2 & -2\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ Quedan dos ecuaciones para tres incógnitas: una queda libre y pasa a ser el parámetro. Con ${z=\lambda}$ : ${-2y+2\lambda=-2}$ , ${y=1+\lambda}$ , y ${x=3-(1+\lambda)-\lambda=2-2\lambda}$ . Es decir, $(x,y,z)=(2-2\lambda,\,1+\lambda,\,\lambda)$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ .

Escribe la matriz ampliada $A^*$ Con las incógnitas siempre en el mismo orden ( $x$ , $y$ , $z$ ) y los términos independientes detrás de la barra.
Haz ceros debajo de la diagonalCon operaciones de fila: ${F_i\to F_i+kF_j}$ , $F_i\to kF_i$ con ${k\ne 0}$ , o intercambiar dos filas. Primero la columna de la $x$ ; después, la de la $y$ .
Lee la última fila y subeDespeja la última incógnita y sustituye en la fila de arriba, y así hasta la primera.

Si la escalonada termina en…	El sistema es…
Una fila ${(0\;\;0\;\;0\,\|\,k)}$ con ${k\ne 0}$	Incompatible: esa fila dice ${0=k}$ , que es imposible
Si no hay ninguna fila así: tantas filas no nulas como incógnitas (un escalón por incógnita)	Compatible determinado
Si no hay ninguna fila así: menos filas no nulas que incógnitas (las filas ${(0\;\;0\;\;0\,\|\,0)}$ sobran)	Compatible indeterminado: las incógnitas sin escalón pasan a ser parámetros

Errores típicos que te quitan puntos

Con un parámetro en la matriz, dividir o multiplicar una fila por una expresión que puede valer cero (como ${m-2}$ ) sin estudiar aparte ese valor. Y elegir como parámetro una incógnita que no está libre: en el ejercicio del País Vasco de abajo, ${z=2}$ en todas las soluciones, así que el parámetro tiene que ser $x$ o $y$ .

3El teorema de Rouché-Frobenius

Dice si un sistema tiene solución mirando solo dos rangos: un sistema es compatible si y solo si ${\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*}$ . Si además ese rango es igual al número de incógnitas $n$ , la solución es única.

(Los tres casos del teorema, en la tabla de abajo.) Los rangos se calculan por menores (Tema 2) o escalonando por Gauss. El rango es el orden del mayor menor no nulo: si $A$ es ${3\times 3}$ y ${|A|\ne 0}$ , ${\operatorname{rg}A=3}$ .
Siempre $\operatorname{rg}A\le\operatorname{rg}A^*\le\operatorname{rg}A+1$ , porque la ampliada contiene a $A$ y solo tiene una columna más. Y ningún rango supera el número de filas ni el de columnas.
En un sistema de tres ecuaciones con ${\operatorname{rg}A=2}$ , para ver si ${\operatorname{rg}A^*=3}$ basta con el menor de orden $3$ de $A^*$ formado por las dos columnas de un menor de orden $2$ no nulo de $A$ y la columna de los términos independientes: si no es cero, ${\operatorname{rg}A^*=3}$ ; si es cero, ${\operatorname{rg}A^*=2}$ (es lo que se usa en Valencia 2025, en «Ponte a prueba»).

Rangos	Sistema	Soluciones
$\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n$	Compatible determinado	Una
$\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n$	Compatible indeterminado	Infinitas, con ${n-\operatorname{rg}A}$ parámetros
$\operatorname{rg}A\ne\operatorname{rg}A^*$	Incompatible	Ninguna

Justifica cada rango

« $A^*$ tiene tres filas, así que su rango es $3$ » solo justifica que es como mucho $3$ . Falta lo otro: contiene a $A$ , que tiene rango $3$ (o un menor de orden $3$ no nulo). Los criterios de Castilla y León 2026 penalizan la falta de justificación con el 25 % de la valoración de la pregunta o tarea.

4Discusión de sistemas con un parámetro

Discutir un sistema es decir, para cada valor del parámetro, si es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Es el tipo de ejercicio que aparece en más convocatorias de Matemáticas II: 19 de las 28 convocatorias ordinarias legibles de 2025 y 2026, en 12 comunidades. Y suele pedir, además, resolver el sistema en algún caso.

Un ejemplo corto: $\begin{cases}x+ay=1 \\ ax+y=1\end{cases}\qquad |A|=\begin{vmatrix}1 & a \\ a & 1\end{vmatrix}=1-a^2=(1-a)(1+a)$ Si ${a\ne 1}$ y ${a\ne -1}$ : compatible determinado. Si ${a=1}$ , las dos ecuaciones son ${x+y=1}$ : $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=1<2$ , compatible indeterminado. Si ${a=-1}$ , son ${x-y=1}$ y ${-x+y=1}$ ; sumándolas sale ${0=2}$ : ${\operatorname{rg}A=1}$ y ${\operatorname{rg}A^*=2}$ , incompatible. Los dos valores anulan $|A|$ y dan sistemas distintos.
Si hay una ecuación más que incógnitas (por ejemplo, tres ecuaciones con dos incógnitas), $A$ no es cuadrada y no tiene determinante, pero $A^*$ sí: si ${|A^*|\ne 0}$ , ${\operatorname{rg}A^*=3}$ y ${\operatorname{rg}A\le 2}$ , así que es incompatible. Los valores que anulan $|A^*|$ se estudian aparte. Con menos ecuaciones que incógnitas, ni $A$ ni $A^*$ son cuadradas: los rangos se calculan con menores o por Gauss.
Por Gauss también se discute: se escalona con el parámetro dentro y se mira para qué valores se anula cada pivote.

Calcula $|A|$ y factorízaloIguálalo a cero: sus raíces son los valores críticos del parámetro.
El resto de valoresSi ${|A|\ne 0}$ en un sistema ${3\times 3}$ : $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3$ , compatible determinado.
Cada valor crítico, por separadoSustitúyelo en el sistema y calcula $\operatorname{rg}A$ y $\operatorname{rg}A^*$ con menores concretos (o por Gauss).
Resume en una tablaCada valor del parámetro, sus dos rangos y el tipo de sistema. Rouché-Frobenius decide.

Error típico que te quita puntos

Decir que el sistema es incompatible solo porque ${|A|=0}$ . Un determinante cero solo dice que ${\operatorname{rg}A<3}$ : puede ser incompatible o compatible indeterminado, y para saberlo hay que mirar $A^*$ . En Castilla y León 2026 (abajo), ${m=2}$ y ${m=5}$ anulan $|A|$ ; el primero da incompatible y el segundo, infinitas soluciones.

5La regla de Cramer y los sistemas homogéneos

Un sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas y ${|A|\ne 0}$ . Entonces es compatible determinado y cada incógnita es un cociente de determinantes: en el numerador, el determinante de $A$ con la columna de esa incógnita cambiada por la de los términos independientes.

$x=\frac{|A_x|}{|A|},\qquad y=\frac{|A_y|}{|A|},\qquad z=\frac{|A_z|}{|A|}$
Con el sistema de las secciones anteriores, $|A|=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{vmatrix}=7$ y $|A_x|=\begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{vmatrix}=7,\quad |A_y|=\begin{vmatrix}1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{vmatrix}=14,\quad |A_z|=\begin{vmatrix}1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2\end{vmatrix}=21,$ así que ${x=1}$ , ${y=2}$ y ${z=3}$ , como por Gauss.
También en un sistema compatible indeterminado: te quedas con las ecuaciones de un menor no nulo de orden $\operatorname{rg}A$ , pasas al segundo miembro las incógnitas que no están en él (como si fueran números) y aplicas Cramer.
Sistemas homogéneos: todos los términos independientes son $0$ . Son siempre compatibles (una columna de ceros no cambia el rango) y tienen siempre la solución trivial ${x=y=z=0}$ . Tienen más soluciones si y solo si ${\operatorname{rg}A<n}$ ; si $A$ es cuadrada, si y solo si ${|A|=0}$ .
Ejemplo: en $\begin{cases}x+y+z=0 \\ x-y+2z=0 \\ 2x+3z=0\end{cases}$ ${|A|=0}$ . Con ${F_2-F_1}$ y ${F_3-2F_1}$ sale dos veces ${-2y+z=0}$ : ${\operatorname{rg}A=2<3}$ , compatible indeterminado. Con ${y=\lambda}$ : ${z=2\lambda}$ y ${x=-3\lambda}$ .

Cramer necesita

{|A|\ne 0}

Si ${|A|=0}$ , las fórmulas dividen entre cero y no se pueden usar tal cual. En un sistema con parámetro, en cambio, Cramer da la solución en función del parámetro para todos los valores con ${|A|\ne 0}$ a la vez.

6Plantear un sistema a partir de un enunciado

Salió en 6 de las 28 convocatorias ordinarias legibles de 2025 y 2026. Lo que más puntúa es el planteamiento: en Andalucía 2025, hasta 0,75 de los 1,25 puntos del primer apartado; en Madrid 2025, 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada.

Define las incógnitasCon palabras y unidades: « $x$ = precio del jersey (€)».
Una frase, una ecuaciónTraduce cada dato por separado (tabla de abajo) y pásalo a la forma ${ax+by+cz=d}$ , sin denominadores ni decimales.
Discute o resuelveRouché-Frobenius si te preguntan si la solución es única; Gauss o Cramer para calcularla.
Comprueba y responde con palabrasCon los datos del enunciado, no con el sistema simplificado, y con unidades. Mira que la solución tenga sentido: precios positivos, números enteros si cuentas personas u objetos…

Frase del enunciado	Ecuación
«En total gastó 80 €»	${x+y+z=80}$
« $x$ es un tercio de $y$ y $z$ juntos»	${x=\dfrac{y+z}{3}\iff 3x-y-z=0}$
« $x$ tiene un descuento del 30 %»	Se paga el 70 %: ${0{,}7x}$
« $x$ sube un 20 %»	${1{,}2x}$
« $x$ supera a $y$ en 5 unidades»	${x=y+5}$
«La media de $x$ , $y$ y $z$ es 20»	${\dfrac{x+y+z}{3}=20\iff x+y+z=60}$

Errores típicos que te quitan puntos

Con un descuento del 30 %, escribir ${0{,}3x}$ : eso es lo que te ahorras, no lo que pagas. Olvidar el paréntesis de «juntos»: es ${x=\frac{y+z}{3}}$ , no ${x=\frac{y}{3}+z}$ . Y dar los números sin decir qué es cada uno.

7Interpretación geométrica: posición de tres planos

Cada ecuación ${ax+by+cz=d}$ (si $a$ , $b$ y $c$ no son los tres cero) es un plano del espacio (lo verás en el Tema 5), y las soluciones del sistema son los puntos comunes a los tres planos. Los rangos dicen cómo están colocados.

$\operatorname{rg}A$	$\operatorname{rg}A^*$	Sistema	Los tres planos…
3	3	Compatible determinado	se cortan en un punto
2	2	Compatible indeterminado (1 parámetro)	se cortan en una recta: tres planos distintos, como las hojas de un libro abierto, o dos coincidentes y el tercero los corta
2	3	Incompatible	no tienen ningún punto común: se cortan dos a dos en tres rectas paralelas (forman un prisma), o dos son paralelos y el tercero los corta
1	1	Compatible indeterminado (2 parámetros)	son el mismo plano
1	2	Incompatible	son paralelos: los tres distintos, o dos coincidentes y el tercero paralelo

Para distinguir los casos de una misma fila, compara las ecuaciones dos a dos: si los coeficientes de

x

,

y

y

z

son proporcionales, esos dos planos son paralelos (y coincidentes si también lo es el término independiente). En el ejercicio del País Vasco 2026 (con

{a=3}

),

\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2

y no hay dos ecuaciones con coeficientes proporcionales: los tres planos se cortan en la recta

{(x,y,z)=(1,0,2)+\lambda(-3,1,0)}

. En el de Castilla y León 2026 con

{m=2}

,

{\operatorname{rg}A=2}

,

{\operatorname{rg}A^*=3}

y tampoco hay dos filas de

A

proporcionales: los planos se cortan dos a dos y forman un prisma.

8Ejercicio resuelto: discutir un sistema con parámetro (Castilla y León 2026)

PAU Castilla y León 2026 · Convocatoria ordinaria · Apartado 1, Problema 1A (a elegir entre 1A y 1B; 2,5 puntos)

Examen oficial (PDF)

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones: $\begin{cases}(m-10)x-2y-z=-1 \\ 7x+(m+2)y+2z=m+1 \\ 5x+2y+z=1\end{cases}$ donde $m\in\mathbb{R}$ .

a) Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $m$ . (1,5 puntos)
b) Resolver, razonadamente, el sistema de ecuaciones para ${m=3}$ . (1 punto)

Vídeo explicado · muy prontoDiscutir un sistema con parámetro (PAU Castilla y León 2026)Te explicamos cómo se hace, paso a paso, con el enunciado siempre a la vista. Unos 5 minutos.

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Apartado a)

Matriz de coeficientes y ampliada: $A=\begin{pmatrix}m-10 & -2 & -1 \\ 7 & m+2 & 2 \\ 5 & 2 & 1\end{pmatrix},\qquad A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}m-10 & -2 & -1 & -1 \\ 7 & m+2 & 2 & m+1 \\ 5 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ Por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible si y solo si ${\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*}$ , y determinado si además ese rango es $3$ , el número de incógnitas.
$A$ es ${3\times 3}$ : si ${|A|\ne 0}$ , su rango es $3$ . Por Sarrus: $|A|=(m-10)(m+2)+(-2)\cdot 2\cdot 5+(-1)\cdot 7\cdot 2-\big[(-1)(m+2)\cdot 5+(m-10)\cdot 2\cdot 2+(-2)\cdot 7\cdot 1\big]$ $=(m^2-8m-54)-(-m-64)=m^2-7m+10=(m-2)(m-5).$ Se anula para ${m=2}$ y ${m=5}$ .
Si ${m\ne 2}$ y ${m\ne 5}$ : ${|A|\ne 0}$ , así que ${\operatorname{rg}A=3}$ . $A^*$ contiene a $A$ (rango al menos $3$ ) y tiene tres filas (como mucho $3$ ): ${\operatorname{rg}A^*=3}$ . Compatible determinado.
Si ${m=2}$ : ${|A|=0}$ y el menor $\begin{vmatrix}7 & 4 \\ 5 & 2\end{vmatrix}=14-20=-6\ne 0$ (filas 2.ª y 3.ª, columnas de $x$ e $y$ ) da ${\operatorname{rg}A=2}$ . En $A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-8 & -2 & -1 & -1 \\ 7 & 4 & 2 & 3 \\ 5 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ , el menor con las columnas de $x$ , $y$ y los términos independientes es $\begin{vmatrix}-8 & -2 & -1 \\ 7 & 4 & 3 \\ 5 & 2 & 1\end{vmatrix}=6\ne 0$ : ${\operatorname{rg}A^*=3}$ . Incompatible.
Si ${m=5}$ : en $A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-5 & -2 & -1 & -1 \\ 7 & 7 & 2 & 6 \\ 5 & 2 & 1 & 1\end{array}\right)$ la primera fila es la tercera cambiada de signo, ${F_1=-F_3}$ , así que ${\operatorname{rg}A^*\le 2}$ ; y el menor $\begin{vmatrix}7 & 7 \\ 5 & 2\end{vmatrix}=14-35=-21\ne 0$ da ${\operatorname{rg}A=2}$ . Entonces $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3$ : compatible indeterminado.

Solución Si ${m\ne 2}$ y ${m\ne 5}$ , compatible determinado ( $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3$ ); si ${m=2}$ , incompatible ( ${\operatorname{rg}A=2}$ , ${\operatorname{rg}A^*=3}$ ); si ${m=5}$ , compatible indeterminado ( $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2$ ).

Apartado b)

${m=3}$ no es $2$ ni $5$ : por el apartado a), el sistema es compatible determinado ( ${|A|=(3-2)(3-5)=-2\ne 0}$ , así que también valdría Cramer). Con ${m=3}$ : $\begin{cases}-7x-2y-z=-1 \\ 7x+5y+2z=4 \\ 5x+2y+z=1\end{cases}$
Atajo: sumando la 1.ª y la 3.ª ecuación, la $y$ y la $z$ se van: ${-2x=0}$ , así que ${x=0}$ .
Con ${x=0}$ quedan ${5y+2z=4}$ y ${2y+z=1}$ . De la segunda, ${z=1-2y}$ ; sustituyendo, ${5y+2(1-2y)=4}$ , ${y+2=4}$ , ${y=2}$ , y ${z=1-2\cdot 2=-3}$ .
Comprobación en el sistema del enunciado con ${m=3}$ : ${(3-10)\cdot 0-2\cdot 2-(-3)=-1}$ ; ${7\cdot 0+(3+2)\cdot 2+2\cdot(-3)=4=3+1}$ ; ${5\cdot 0+2\cdot 2+(-3)=1}$ .

Solución ${(x,y,z)=(0,\,2,\,-3)}$ .

Lo que puntúa. Criterios oficiales de Castilla y León 2026 (Universidad de Salamanca): a) «Hasta 1,5 puntos, que corresponden a un máximo de 0,3 puntos por los cálculos previos y hasta 0,4 más por la correcta discusión de cada uno de los 3 casos posibles»; b) «Hasta 1 punto». Los criterios generales penalizan la falta de justificación con el 25 % de la valoración y piden que figuren «explícitamente las operaciones no triviales»: nombra el teorema y escribe cada menor con su valor.

Error típico que te quita puntos. Decir que el sistema es incompatible solo porque ${|A|=0}$ : con ${m=5}$ el determinante también es cero y el sistema tiene infinitas soluciones.

9Ejercicio resuelto: plantear un sistema y resolverlo por Gauss (Andalucía 2025)

PAU Andalucía 2025 · Convocatoria ordinaria · Ejercicio 1 (bloque obligatorio; 2,5 puntos)

Examen oficial (PDF)

Juan ha gastado 80€ por la compra de un jersey, una camisa y un pantalón. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y el pantalón juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta. (1,25 puntos)
b) Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, pues el jersey, la camisa y el pantalón tenían un descuento del 30 %, del 40 % y del 20 %, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas. (1,25 puntos)

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Apartado a)

Incógnitas, con unidades: $x$ = precio del jersey, $y$ = precio de la camisa y $z$ = precio del pantalón, en euros.
Cada frase, una ecuación. Gasto total: ${x+y+z=80}$ . El jersey es un tercio de la camisa y el pantalón juntos (paréntesis): ${x=\dfrac{y+z}{3}}$ , es decir, ${3x-y-z=0}$ .
Por Rouché-Frobenius: en $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1\end{pmatrix}$ , el menor $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & -1\end{vmatrix}=-1-3=-4\ne 0$ da ${\operatorname{rg}A=2}$ ; la ampliada contiene ese menor y solo tiene dos filas, así que ${\operatorname{rg}A^*=2}$ . Como ${2<3}$ incógnitas, el sistema es compatible indeterminado: infinitas soluciones, con un parámetro.
Pero eso no quiere decir que cambien todas las incógnitas. Sumando las dos ecuaciones, la $y$ y la $z$ se van: ${4x=80}$ , ${x=20}$ en todas las soluciones.
En cambio, ${y+z=60}$ : valen ${y=25}$ , ${z=35}$ o ${y=30}$ , ${z=30}$ … La solución general es ${(x,y,z)=(20,\,60-\lambda,\,\lambda)}$ , con $\lambda\in\mathbb{R}$ (y ${0<\lambda<60}$ para que los precios sean positivos).

Solución El precio del jersey sí está determinado: 20 €. El de la camisa no: ${y=60-\lambda}$ depende del parámetro.

Apartado b)

Con un descuento del 30 % se paga el 70 %: el jersey cuenta ${0{,}7x}$ ; la camisa (40 %), ${0{,}6y}$ ; el pantalón (20 %), ${0{,}8z}$ . Así que ${0{,}7x+0{,}6y+0{,}8z=57}$ y, multiplicando por $10$ , ${7x+6y+8z=570}$ .
Por Gauss, con las tres ecuaciones: $\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 80 \\ 3 & -1 & -1 & 0 \\ 7 & 6 & 8 & 570\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-7F_1]{F_2-3F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 80 \\ 0 & -4 & -4 & -240 \\ 0 & -1 & 1 & 10\end{array}\right)$
$\xrightarrow{F_2:(-4)}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 80 \\ 0 & 1 & 1 & 60 \\ 0 & -1 & 1 & 10\end{array}\right)\xrightarrow{F_3+F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 80 \\ 0 & 1 & 1 & 60 \\ 0 & 0 & 2 & 70\end{array}\right)$ Tres escalones: compatible determinado ( ${|A|=-8\ne 0}$ ).
De abajo arriba: ${2z=70}$ , ${z=35}$ ; ${y+z=60}$ , ${y=25}$ ; y ${x=80-25-35=20}$ , como en el a).
Comprobación con el enunciado: ${20+25+35=80}$ ; ${20=\dfrac{25+35}{3}}$ ; y $0{,}7\cdot 20+0{,}6\cdot 25+0{,}8\cdot 35=14+15+28=57$ .

Solución Jersey, 20 €; camisa, 25 €; pantalón, 35 €.

Lo que puntúa. Criterios específicos de Andalucía 2025: a) «Hasta 0,75 puntos por plantear las dos ecuaciones del sistema»; b) «Hasta 0,75 puntos por calcular las tres incógnitas y dar los tres precios». Los generales reservan hasta 0,25 puntos de cada ejercicio para la expresión razonada del proceso y penalizan los errores en las operaciones aritméticas elementales con un máximo de 0,25. Define las incógnitas, justifica con Rouché-Frobenius que el sistema es compatible indeterminado y explica por qué, aun así, $x$ es única: sumando las dos ecuaciones, ${4x=80}$ en todas las soluciones.

Error típico que te quita puntos. Escribir ${0{,}3x}$ para un descuento del 30 % (es lo que te ahorras, no lo que pagas) u olvidar el paréntesis de «juntos»: es ${x=\frac{y+z}{3}}$ , no ${x=\frac{y}{3}+z}$ .

10Ejercicio resuelto: el valor con infinitas soluciones y todas las soluciones (País Vasco 2026)

PAU País Vasco 2026 · Convocatoria ordinaria · Segundo ejercicio (obligatorio; 2 puntos)

Examen oficial (PDF)

Dado ${a\ne 0}$ , se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $\begin{cases}x+ay=1, \\ x+ay+z=a, \\ (a-2)x+ay+(a-1)z=a+2.\end{cases}$

a) Encuentra un valor de $a$ para el que el sistema dado tiene más de una solución. (1 punto)
b) Encuentra todas las soluciones del sistema para el valor de $a$ del apartado anterior. (1 punto)

Vídeo explicado · muy prontoSistema con infinitas soluciones y solución con λ (PAU País Vasco 2026)Te explicamos cómo se hace, paso a paso, con el enunciado siempre a la vista. Unos 5 minutos.

Ver la resolución paso a paso

Apartado a)

La idea clave: un sistema lineal no tiene solución, tiene una o tiene infinitas. Más de una solución quiere decir infinitas: compatible indeterminado, es decir, $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<3$ por Rouché-Frobenius.
$A=\begin{pmatrix}1 & a & 0 \\ 1 & a & 1 \\ a-2 & a & a-1\end{pmatrix}$ es ${3\times 3}$ : su rango baja de $3$ si y solo si ${|A|=0}$ . Restando a la 2.ª fila la 1.ª (no cambia el determinante) y desarrollando por esa fila, con el signo ${-}$ de la posición ${(2,3)}$ : $|A|=\begin{vmatrix}1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a-2 & a & a-1\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1 & a \\ a-2 & a\end{vmatrix}=-\big(a-a(a-2)\big)=a^2-3a=a(a-3).$
Se anula para ${a=0}$ y ${a=3}$ . Como ${a\ne 0}$ , el candidato es ${a=3}$ . Pero ${|A|=0}$ solo dice que ${\operatorname{rg}A<3}$ : el sistema podría ser incompatible. Hay que mirar $A^*$ .
Con ${a=3}$ : $A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 5\end{array}\right)\xrightarrow[F_3-F_2]{F_2-F_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)\xrightarrow{F_3-F_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ Quedan dos filas no nulas en $A$ y en $A^*$ : $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3$ , compatible indeterminado.
(Con ${a=0}$ , que el enunciado excluye, también ${|A|=0}$ , pero el sistema ${x=1}$ , ${x+z=0}$ , ${-2x-z=2}$ es incompatible: ${-2\cdot 1-(-1)=-1\ne 2}$ . Por eso no basta con el determinante.)

Solución ${a=3}$ .

Apartado b)

Del sistema escalonado quedan dos ecuaciones, ${x+3y=1}$ y ${z=2}$ , para tres incógnitas: una queda libre ( ${3-2=1}$ parámetro).
La $z$ no puede ser el parámetro ( ${z=2}$ siempre). Con ${y=\lambda}$ no salen fracciones: ${x=1-3\lambda}$ . (Con ${x=t}$ saldría ${y=\frac{1-t}{3}}$ , que es la que da el solucionario oficial: las dos valen.)
Comprobación con la solución general en el sistema con ${a=3}$ : ${(1-3\lambda)+3\lambda=1}$ ; ${(1-3\lambda)+3\lambda+2=3}$ ; ${(1-3\lambda)+3\lambda+2\cdot 2=5}$ , para cualquier $\lambda$ .
Geométricamente, los tres planos se cortan en la recta que pasa por ${(1,0,2)}$ con vector director ${(-3,1,0)}$ .

Solución ${(x,y,z)=(1-3\lambda,\,\lambda,\,2)}$ , con $\lambda\in\mathbb{R}$ .

Lo que puntúa. Solucionario y criterios de la EHU (País Vasco 2026): a) «Calcular el determinante de la matriz de coeficientes (0,5 puntos). Comprobar que cuando ${a=3}$ el sistema es compatible indeterminado (0,5 puntos)»; b) «Resolver el sistema cuando ${a=3}$ (1 punto)». Según ese reparto, quedarse en ${|A|=0}$ sin mirar $A^*$ deja sin el segundo medio punto del a). Los criterios generales restan hasta 0,2 puntos por ejercicio por falta de rigor o mal uso de los símbolos.

Error típico que te quita puntos. Dar una sola solución, como ${(1,0,2)}$ , cuando piden todas: la respuesta del b) es la expresión con $\lambda$ .

Conceptos clave

Sistema de ecuaciones lineales: Conjunto de ecuaciones en las que las incógnitas aparecen con exponente 1 y sin multiplicarse entre sí. Se escribe ${AX=B}$ .
Matriz de coeficientes y matriz ampliada: $A$ reúne los coeficientes de las incógnitas; la ampliada ${A^*=(A\,|\,B)}$ añade la columna de los términos independientes.
Sistemas equivalentes: Los que tienen las mismas soluciones. Las operaciones de Gauss transforman un sistema en otro equivalente.
Sistema compatible determinado: El que tiene una única solución: $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=n$ (número de incógnitas).
Sistema compatible indeterminado: El que tiene infinitas soluciones: $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*<n$ . Se dan con ${n-\operatorname{rg}A}$ parámetros.
Sistema incompatible: El que no tiene solución: $\operatorname{rg}A\ne\operatorname{rg}A^*$ .
Teorema de Rouché-Frobenius: Un sistema es compatible si y solo si ${\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*}$ ; la solución es única si ese rango es el número de incógnitas.
Discutir un sistema: Decir, para cada valor del parámetro, si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Método de Gauss: Resolución (o discusión) de un sistema escalonando su matriz ampliada con operaciones de fila y sustituyendo de abajo arriba.
Regla de Cramer: En un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas y ${|A|\ne 0}$ , cada incógnita es un cociente de determinantes, por ejemplo ${x=\dfrac{|A_x|}{|A|}}$ , con la columna de esa incógnita cambiada por la de los términos independientes.
Sistema homogéneo: El que tiene todos los términos independientes nulos. Siempre es compatible (tiene la solución trivial) y tiene más soluciones si y solo si ${\operatorname{rg}A<n}$ .

Modo PAU

Siete reglas que valen puntos

Rouché-FrobeniusCompatible si y solo si

{\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*}

. Nómbralo.

Solución única

{\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=}

número de incógnitas.

Determinante nuloNo es «incompatible»: compara

\operatorname{rg}A

y

\operatorname{rg}A^*

en cada valor crítico.

Rango de la ampliadaJustifícalo con un menor concreto:

\operatorname{rg}A\le\operatorname{rg}A^*\le\operatorname{rg}A+1

.

Infinitas soluciones

{n-\operatorname{rg}A}

parámetros. Da la solución general, no un ejemplo.

Cramer

{x=\dfrac{|A_x|}{|A|}}

, solo si

{|A|\ne 0}

.

PlantearIncógnitas con unidades, una frase = una ecuación, y comprueba con el enunciado.

Cómo te lo pueden preguntar

Discute un sistema según los valores de un parámetro y resuélvelo en algún caso (por ejemplo, cuando sea compatible indeterminado).
Halla el valor del parámetro para el que el sistema tiene más de una solución (o ninguna) y da todas las soluciones.
Plantea un sistema a partir de un enunciado (precios, compras, puntos…), razona si la solución es única y calcúlala.
Resuelve un sistema por Gauss o por Cramer y comprueba la solución.
Estudia un sistema homogéneo: cuándo tiene soluciones distintas de la trivial.
Interpreta la discusión geométricamente: cómo están colocados los tres planos.

No lo confundas

${|A|=0}$ (el rango de $A$ es menor que $3$ ) con «incompatible» (rangos distintos).
Compatible indeterminado (infinitas soluciones) con incompatible (ninguna).
Una solución concreta, como ${(1,0,2)}$ , con la solución general ${(1-3\lambda,\,\lambda,\,2)}$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ .
Un descuento del 30 % ( ${0{,}7x}$ , lo que pagas) con ${0{,}3x}$ (lo que te ahorras).

Ponte a prueba

PAU Madrid 2025, Pregunta 1.1 (2,5 puntos; a elegir entre 1.1 y 1.2). En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que: • El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80% en tiros de uno, del 50% en tiros de dos y del 40% en tiros de tres. • La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos. • El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

Ver solución

Con $x$ , $y$ , $z$ = lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos: $0{,}8x\cdot 1+0{,}5y\cdot 2+0{,}4z\cdot 3=80$ , es decir, ${4x+5y+6z=400}$ ; ${\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+z}{5}}$ , es decir, ${3x-5y+3z=0}$ ; y ${2z=x+y-5}$ , es decir, ${x+y-2z=5}$ . Como $|A|=\begin{vmatrix}4 & 5 & 6 \\ 3 & -5 & 3 \\ 1 & 1 & -2\end{vmatrix}=121\ne 0$ , es compatible determinado, y por Gauss o Cramer: ${x=25}$ , ${y=30}$ , ${z=25}$ . Comprobación: $0{,}8\cdot 25+2\cdot 0{,}5\cdot 30+3\cdot 0{,}4\cdot 25=20+30+30=80$ . Los criterios de Madrid dan 0,5 puntos por cada ecuación bien planteada y 1 por la resolución.

PAU Extremadura 2026, Ejercicio 1.A [2,5 puntos: a) 1,5 puntos. b) 1 punto; a elegir entre 1.A y 1.B]. Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k\in\mathbb{R}$ : $\begin{cases}x+y+kz=k \\ kx+(k-1)y+z=2 \\ x+y+z=1\end{cases}$ a) Discutir el sistema en función del parámetro k. b) Resolverlo para el caso ${k=2}$ .

Ver solución

a) Por Sarrus, ${|A|=(k-1)+1+k^2-\big[k(k-1)+1+k\big]=k-1}$ , que solo se anula para ${k=1}$ . Si ${k\ne 1}$ , $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=3$ : compatible determinado. Si ${k=1}$ , la 1.ª y la 3.ª ecuación son iguales ( ${x+y+z=1}$ ), así que ${\operatorname{rg}A^*\le 2}$ , y el menor $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix}=-1\ne 0$ (filas 1.ª y 2.ª, columnas de $x$ e $y$ ) da $\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}A^*=2<3$ : compatible indeterminado, con soluciones ${(2-\lambda,\,-1,\,\lambda)}$ . No hay ningún valor de $k$ con el sistema incompatible. b) Con ${k=2}$ , compatible determinado. Restando la 3.ª ecuación a la 1.ª, ${z=1}$ ; entonces ${x+y=0}$ y ${2x+y=1}$ , así que ${x=1}$ , ${y=-1}$ : ${(x,y,z)=(1,\,-1,\,1)}$ .

PAU Comunitat Valenciana 2025, Pregunta 2, apartado 2.2 (2,5 puntos; a elegir entre 2.1 y 2.2). Sea el sistema de ecuaciones lineales: $\begin{cases}3x-2y-3z=0 \\ 2x+ay-5z=-3, \\ x+y+2z=3\end{cases}$ donde a es un parámetro real. Se pide: 2.2.1 (1 punto) Discutir el sistema en función del parámetro $a$ . 2.2.2 (0.75 puntos) Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. 2.2.3 (0.75 puntos) Calcular la solución del sistema para ${a=0}$ .

Ver solución

2.2.1. Por Sarrus, ${|A|=6a+10-6-(-3a-15-8)=9a+27=9(a+3)}$ . Si ${a\ne -3}$ , compatible determinado. Si ${a=-3}$ , el menor $\begin{vmatrix}3 & -2 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=5\ne 0$ (filas 1.ª y 3.ª, columnas de $x$ e $y$ ) da ${\operatorname{rg}A=2}$ , y el menor de $A^*$ con esas columnas y la de los términos independientes, $\begin{vmatrix}3 & -2 & 0 \\ 2 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & 3\end{vmatrix}=0$ , da ${\operatorname{rg}A^*=2}$ : compatible indeterminado. 2.2.2. Con ${a=-3}$ basta con la 1.ª y la 3.ª ecuación. Con ${x=\lambda}$ no salen fracciones: $(x,y,z)=(\lambda,\,9\lambda-9,\,6-5\lambda)$ , $\lambda\in\mathbb{R}$ (la solución oficial toma ${z=\lambda}$ : ${x=\frac{6-\lambda}{5}}$ , ${y=\frac{9-9\lambda}{5}}$ ; es la misma familia). 2.2.3. Con ${a=0}$ , compatible determinado: ${(x,y,z)=(1,\,0,\,1)}$ . Comprobación: ${3-0-3=0}$ , ${2-5=-3}$ y ${1+2=3}$ .

Sistemas de ecuaciones lineales.

Lo que vas a aprender.

Los apuntes del tema.

1Sistemas de ecuaciones lineales y su expresión matricial

2El método de Gauss

3El teorema de Rouché-Frobenius

4Discusión de sistemas con un parámetro

5La regla de Cramer y los sistemas homogéneos

6Plantear un sistema a partir de un enunciado

7Interpretación geométrica: posición de tres planos

8Ejercicio resuelto: discutir un sistema con parámetro (Castilla y León 2026)

9Ejercicio resuelto: plantear un sistema y resolverlo por Gauss (Andalucía 2025)

10Ejercicio resuelto: el valor con infinitas soluciones y todas las soluciones (País Vasco 2026)

Conceptos clave

Siete reglas que valen puntos

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Fuentes

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